在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2-y2=1．
（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|=22，求点M的坐标；
（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（3）设斜率为k（|k|＜2）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．
|
MF
|
=
2
2
|
k
|
＜
2
【答案】（1）（）．
（2）．
（3）证明：设直线PQ的方程为y=kx+b，
因直线PQ与已知圆相切，故=1，
即b2=k2+1…①，由
，得（2-k2）x2-2bkx-b2-1=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，
又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）．
所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2
=
=．
由①式可知=0，
故PO⊥OQ．
6
2
，
±
2
（2）
3
2
4
（3）证明：设直线PQ的方程为y=kx+b，
因直线PQ与已知圆相切，故
|
b
|
k
2
+
1
即b2=k2+1…①，由
y = kx + b |
2 x 2 - y 2 = 1 |
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
x 1 + x 2 = 2 kb 2 - k 2 |
x 1 x 2 = - 1 - b 2 2 - k 2 |
又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）．
所以
OP
•
OQ
=
（
1
+
k
2
）
（
-
1
-
b
2
）
2
-
k
2
+
2
k
2
b
2
2
-
k
2
+
b
2
=
-
1
+
b
2
-
k
2
2
-
k
2
由①式可知
OP
•
OQ
故PO⊥OQ．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：689引用：4难度：0.3
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
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