在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx和一次函数y=αx+b的图象经过点A（1，5）和点B（n,1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如图，点M（m,t）是线段AB下方反比例函数y=kx图象上的一动点，过点M作x轴的垂线与一次函数y=αx+b的图象交于点P，连接OP，OM．
①设△POM的面积为S，求S关于m的函数解析式并指出m的求值范围；
②求S的最大值．
y
=
k
x
k
x
【考点】反比例函数综合题．
【答案】（1）反比例函数解析式为y=，一次函数解析式为y=-x+6；
（2）①（1＜m＜5）；
②2．
5
x
（2）①
S
=
-
1
2
m
2
+
3
m
-
5
2
②2．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：208引用：3难度：0.5
相似题
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1．【概念发现】（1）对于平面上的图形S，将其绕某定点A逆时针旋转角度α，得到图形S'，我们记为图形S的（A，α）旋转变换，若在另一图形T上存在一动点C，图形S'上存在一动点D，记CD长度的最大值为S、T两图形旋转变换后的极大距离，记为H（S，T），记CD长度的最小值为S、T两图形旋转变换后的极小距离，记为h（S，T）．例如，图1中，平面直角坐标系中，M（9，1），N（5，-1），记线段MN为图形S，线段MN绕点P（5，1）逆时针旋转90°，得到线段M'N'，记线段M'N'为图形S'，则图形S的（ ，°）旋转变换得到图形S'，此时M'、N'坐标分别为M'（5，5），N'（7，1），记原点O为图形T，因为原点O到M'、N'两点的距离相等，都是
，而原点O到线段M'N'的距离OD长为52，所以H（S，T）是35，h（S，T）是52．35
【理解应用】（2）如图2，△BCD在坐标平面内，B（4，0），C（6，0），D（6，3），记△BCD为图形S，点A（3，0）为图形T，图形S的（O，90°）旋转变换得到图形S'，则H（S，T）=，h（S，T）=．
【拓展延伸】（3）如图3，⊙P在坐标平面内，半径为2，圆心P（6，0），A（1，0）、B（-1，0）记⊙P为图形S，线段AB记为图形T，图形S的（O，60°）旋转变换得到图形S'，求H（S，T）与h（S，T）的值；
【思维提升】（4）如图4，A（-3，0）、B（3，0），将函数在第一象限的图象记为图形S，线段AB记为图形T，图形S的（O，60°）旋转变换得到图形S'，直接写出h（S，T）=．y=43x发布：2025/5/23 3:0:1组卷：409引用：2难度：0.1 -
2．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于点A、B，与x轴交于点F，与y轴交于点C．过点A作AD⊥x轴于点D，∠CAD=45°，连接CD，已知△ADC的面积等于6，点A的坐标为（n,2），点B的坐标为（a,-6）．mx
（1）请直接写出一次函数的关系式为 ，反比例函数的关系式为 ；
（2）若点E是点C关于x轴的对称点，求△ABE的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式kx＞-b的解集是 ．mx发布：2025/5/23 1:0:1组卷：516引用：5难度：0.2 -
3．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”．例如：点A（3，6），因为C=（3+6）×2=18，S=3×6=18，所以A是“等值点”．
（1）在点B（-2，-2），C（1，1），D（-4，4）中，是“等值点”的有：；
（2）若点E为双曲线，x＞0上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求证：点F为“等值点”；y=4x
（3）若一次函数y=-x+b的图象在第一象限内有两个“等值点”，求b的取值范围．发布：2025/5/22 22:0:2组卷：247引用：1难度：0.4
