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已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）外接矩形的面积S=82，且（2，1）与点M在椭圆Γ上，椭圆Γ的左、右顶点分别为A，B．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）已知点N在圆O：x2+y2=b2上，MN⊥y轴，若直线MA，MB与y轴的交点分别为C，D．求证：sin∠CND为定值．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】（1）；
（2）证明：设M（x0，y0），AM：y=k（x+2）（k≠0），令x=0，解得y=2k，∴C（0，2k）．
由
化为：（2k2+1）x2+8k2x+8k2-4=0（k≠0）．
∴-2x0=，解得x0=，∴y0=．
∴直线BM的斜率=-．
∴BM的方程：y=-（x-2），令x=0，解得y=，∴D（0，）．
设N（xN，y0），则=（-xN，2k-y0），=（-xN，）．
=0．
．∴NC⊥ND．即∠CND=90°．
∴sin∠CND=1．
x
2
4
+
y
2
2
=
1
（2）证明：设M（x0，y0），AM：y=k（x+2）（k≠0），令x=0，解得y=2k，∴C（0，2k）．
由
y = k （ x + 2 ） |
x 2 + 2 y 2 = 4 |
∴-2x0=
8
k
2
-
4
1
+
2
k
2
2
-
4
k
2
1
+
2
k
2
4
k
1
+
2
k
2
∴直线BM的斜率=-
1
2
k
∴BM的方程：y=-
1
2
k
1
k
1
k
设N（xN，y0），则
NC
ND
1
k
-
y
0
NC
•
ND
=
x
N
2
+
y
0
2
+
2
-
2
k
2
+
1
k
y
0
．∴NC⊥ND．即∠CND=90°．
∴sin∠CND=1．
【解答】
【点评】
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发布：2024/5/23 20:38:36组卷：4引用：1难度：0.6
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