抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点到准线的距离等于椭圆C₂：x²+16y²=1的短轴长．
（1）求抛物线C₁的方程；
（2）设D（1，t）是抛物线C₁上位于第一象限的一点，过D作圆E：（x-2）²+y²=r²（其中0＜r＜1）的两条切线，分别交抛物线C₁于点M，N，证明：直线MN经过定点．

【答案】（1）y²=x；
（2）证明：由（1）可得D（1，1），因为0＜r＜1，
设M（m²，m），N（n²，n），
则直线MN的方程为y-m=

（x-m²），即x-（m+n）y+mn=0，
因为直线DM：x-（m+1）y+m=0为圆的切线，所以

（

）

=r，整理可得：（r²-1）m²+（2r²-4）m+2r²-4=0，①
同理可得：（r²-1）n²+（2r²-4）n+2r²-4=0，②
由①②可得m，n为方程：（r²-1）x²+（2r²-4）x+2r²-4=0的两个不同的实根，
所以m+n=

，mn=

，
代入x-（m+n）y+mn=0中，整理可得（x+2y+2）r²-（x+4y+4）=0，
可得

，解得x=0，y=-1，
即直线MN恒过定点（0，-1）．

【解答】

【点评】

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发布：2024/11/5 15:30:1组卷：245引用：5难度：0.6

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1．抛物线x²=4y的焦点为F，准线为l,A，B是抛物线上的两个动点，且满足AF⊥BF，P为线段AB的中点，设P在l上的射影为Q，则
|
PQ
|
|
AB
|
的最大值是（　　）
A．
2
3
B．
3
3
C．
2
2
D．
3
2
发布：2024/12/29 5:30:3组卷：477引用：8难度：0.5
解析
2．如图，设抛物线y²=2px的焦点为F，过x轴上一定点D（2，0）作斜率为2的直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于点C，记△BCF的面积为S₁，△ACF的面积为S₂，若
S
1
S
2
=
1
4
，则抛物线的标准方程为（　　）
A．y²=x B．y²=2x C．y²=4x D．y²=8x
发布：2024/12/17 0:0:2组卷：163引用：6难度：0.6
解析
3．如图，已知点P是抛物线C：y²=4x上位于第一象限的点，点A（-2，0），点M，N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足PM⊥PN，AM⊥AN，线段PN分别交x轴正半轴、抛物线C于点D，Q，射线MP交x轴正半轴于点E．
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（Ⅱ）记△DOP，△DEQ的面积分别为S₁，S₂，求S₁•S₂的最大值．
发布：2024/12/29 1:0:8组卷：96引用：2难度：0.4
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1．抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l,A，B是抛物线上的两个动点，且满足AF⊥BF，P为线段AB的中点，设P在l上的射影为Q，则|PQ||AB|的最大值是（ ）