如图△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC=2∠DAC，若AC=4，AB=x,CD长为y,则y与x的函数关系式为
y=8xy=8x．
二倍角问题是同学们在几何图形中比较困难的问题之一，二倍角问题的解题策略很多，其中之一便是构造等腰三角形，利用等腰三角形的相关性质来解决问题，小明和小强通过对本题二倍角问题的研究，提出以下想法：①小明：由∠ABC=2∠DAC，想到构造等腰三角形，把△ACD以AD为轴翻折，到△ADE，可设∠DAC为α，则∠ABC为2α，通过导角计算，可以得到一个等腰三角形；
②小强：在图中，可利用勾股定理或者相似三角形来进行计算，导出y和x的数量关系．
（1）问题：请按照上面两名同学的思路，证明：
①BA=BE；
②写出y和x的数量关系式．
（2）问题拓展：
矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，在CE上取一点F，∠CAF=∠BCE，∠BEC=2∠DAC，若AECF=mn，求AEEB的值．
8
x
8
x
AE
CF
=
m
n
AE
EB
【考点】相似形综合题．
【答案】y=
8
x
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/26 11:36:51组卷：165引用：1难度：0.3
相似题
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1．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是上底AD的中点，P是腰AB上一动点，连接PE并延长，交射线CD于点M，作EF⊥PE，交下底BC于点F，连接MF交AD于点N，连接PF，AB=AD=4，BC=6，点A、P之间的距离为x,△PEF的面积为y.
（1）当点F与点C重合时，求x的值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠CMF=∠PFE时，求△PEF的面积．发布：2025/1/28 8:0:2组卷：242引用：1难度：0.5 -
2．【感知】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是边AC、BC的中点，连接DE．则△CDE与△CAB的面积比为．
【探究】将图①的△CDE绕着点C按顺时针方向旋转一定角度，使点E落在△ABC内部，连接AD、BE，并延长BE分别交AC、AD于点O、F，其它条件不变，如图②．
（1）求证：△ACD∽△BCE．
（2）求证：AD⊥BF．
【应用】将图②的△CDE绕着点C按顺时针方向旋转，使点D恰好落在边BC的延长线上，连接AD、BE，BE的延长线交AD于点F，其它条件不变，如图③，若AC=4，BC=3，则BF的长为．
发布：2025/1/28 8:0:2组卷：302引用：1难度：0.1 -
3．【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多……
（1）【问题提出】如图①，PC是△PAB的角平分线，求证．PAPB=ACBC
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明；小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．
（2）【理解应用】填空：如图②，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，CD平分∠ACB交AB于点D，则BD长度为 ；
（3）【深度思考】如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点，连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠点C恰好落在边AB上的E点处．若AC=1，AB=2，则DE的长为 ；
（4）【拓展升华】如图④，△ABC中，AB=6，AC=4，AD为∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线EF交BC延长线于F，连接AF，当BD=3时，AF的长为 ．
发布：2025/1/28 8:0:2组卷：362引用：1难度：0.1
