如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于两点A（-1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是△ABC边上一点，连接OD，将线段OD以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段OE，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标；
（3）点M在线段AB上（与A、B不重合），点N在线段BC上（与B，C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+x+2；
（2）点E的坐标为：（2-，）或 （0，2）；
（3）存在，点N的坐标为：（2，1）或（，）或（，）．
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（2）点E的坐标为：（2-
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（3）存在，点N的坐标为：（2，1）或（
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【解答】
【点评】
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发布：2025/5/21 22:0:1组卷：1082引用：5难度：0.3
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1．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数），经过点（3，0）和（0，-3）．
（1）求该抛物线函数表达式；
（2）当-1≤x≤4时，求二次函数y=x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，横坐标为m,过点P作PQ⊥y轴，交直线x=3于点Q．当点P和点Q不重合时，以PQ为边，点P为直角顶点向y轴负方向作等腰直角三角形PQM．
①当点M到抛物线顶点纵坐标所在直线的距离是5时，求m的值；
②当抛物线在等腰直角三角形PQM内部（包括边界）的点的纵坐标之差最大值是1时，直接写出m的值．发布：2025/5/22 4:30:1组卷：261引用：1难度：0.4 -
2．如图，直线y=-2x+6与x,y轴分别交于B，C两点，抛物线y=-2x2+bx+c经过B，C两点，且交x轴于另一点A．
（1）求B，C两点的坐标及该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）如图1，若直线l为抛物线的对称轴，请在直线l上找一点M，使得AM+CM最小，求出点M的坐标；
（3）如图2，若在直线BC上方的抛物线上有一动点P（与B，C两点不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点N，当点N是线段PH的三等分点时，求点P的坐标．发布：2025/5/22 4:30:1组卷：127引用：2难度：0.3 -
3．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若⊙M经过A，B，C三点，N是线段BC上的动点，求MN的取值范围．
（3）点P是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上位于第一象限内的一点，过点P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，若，求点P的坐标．PQ=12AC发布：2025/5/22 4:30:1组卷：116引用：1难度：0.2
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