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定义:在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴的交点坐标为(0,c),那么我们把经过点(0,c)且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线.
【特例感知】
(1)抛物线y=x2+4x+4的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为
(0,4)和(-4,4)
(0,4)和(-4,4)

【深入探究】
(2)经过点A(-2,0)和B(x,0)(x>-2)的抛物线
y
=
-
1
4
x
2
+
1
2
mx
+
n
与y轴交于点C,它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D,请用含m的代数式表示点D的坐标.
【拓展运用】
(3)在(2)的条件下,设抛物线
y
=
-
1
4
x
2
+
1
2
mx
+
n
的顶点为P,直线EF垂直平分OC,垂足为E,交该抛物线的对称轴于点F.
①当∠CDF=45°时,求点P的坐标.
②若直线EF与直线MN关于极限分割线对称,是否存在使点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等的m的值?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.

【考点】二次函数综合题
【答案】(0,4)和(-4,4)
【解答】
【点评】
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发布:2024/4/26 11:36:51组卷:949引用:2难度:0.2
相似题
  • 1.已知,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-6ax-4与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线AC的解析式是y=-2x+b.

    (1)如图1,求抛物线的解析式:
    (2)如图2,点P是第四象限抛物线上一点,连接PA交y轴于点E,若P横坐标是t,△ACP的面积为S,求S与t的函数关系式(不要求写出t的取值范围).
    (3)如图3,在(2)的条件下,在第一象限的抛物线上有一点D,D的横坐标是10,连接PD交x轴于点T,P恰好在AT的垂直平分线上,BF⊥x轴交PD于点F,EF交x轴于点G,点H在OA上,HO=
    1
    4
    BG,R在第四象限的抛物线上,P到直线HR距离为
    3
    10
    2
    ,求tan∠BHR的值.

    发布:2025/6/10 11:30:1组卷:95引用:2难度:0.1
  • 2.在直角坐标系中,抛物线
    y
    =
    1
    2
    x
    2
    +
    bx
    +
    c
    a
    0
    与x轴交于A、B两点.其中点A(-2,0),点B(4,0).
    (1)求抛物线的解析式.
    (2)如图1,在直线
    l
    y
    =
    -
    1
    2
    x
    +
    n
    经过A点,与y轴交于D.在直线l下方的抛物线上有一个动点P,连接PA,PD,求△PAD面积的最大值及其此时P的坐标.
    (3)将抛物线y向右平移1个单位长度后得到新抛物线y1,点E是新抛物线y1的对称轴上的一个动点,点F是原抛物线上的一个动点,取△PAD面积最大值时的P点.若以点P、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点F的坐标,并写出求解其中一个F点的过程.

    发布:2025/6/10 11:0:1组卷:414引用:3难度:0.2
  • 3.如图,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
    (1)求a的值及cos∠BAO.
    (2)求PN的最大值.
    (3)设△PMN的面积为S1,△AEN的面积为S2,若
    S
    1
    S
    2
    =
    36
    25
    ,求此时m的值.

    发布:2025/6/10 11:0:1组卷:764引用:2难度:0.1
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