已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为12，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
1
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【答案】（I）椭圆C的方程为；
（II）证明：由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．
又A，B两点在椭圆C上，
所以，．
所以点O到直线AB的距离．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由
消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
由已知Δ＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
所以，．
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0．
所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即．
所以．
整理得7m2=12（k2+1），满足Δ＞0．
所以点O到直线AB的距离为定值．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（II）证明：由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．
又A，B两点在椭圆C上，
所以
x
0
2
4
+
x
0
2
3
=
1
x
0
2
=
12
7
所以点O到直线AB的距离
d
=
12
7
=
2
21
7
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
由已知Δ＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
所以
x
1
+
x
2
=
-
8
km
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0．
所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即
（
k
2
+
1
）
x
1
x
2
+
km
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
=
0
所以
（
k
2
+
1
）
4
m
2
-
12
3
+
4
k
2
-
8
k
2
m
2
3
+
4
k
2
+
m
2
=
0
整理得7m2=12（k2+1），满足Δ＞0．
所以点O到直线AB的距离
d
=
|
m
|
k
2
+
1
=
12
7
=
2
21
7
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：218引用：11难度：0.1
相似题
-
1．点P在以F1，F2为焦点的双曲线
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
2．已知两个定点坐标分别是F1（-3，0），F2（3，0），曲线C上一点任意一点到两定点的距离之差的绝对值等于2
．5
（1）求曲线C的方程；
（2）过F1（-3，0）引一条倾斜角为45°的直线与曲线C相交于A、B两点，求△ABF2的面积．发布：2024/12/29 10:30:1组卷：97引用：1难度：0.9 -
3．若过点（0，-1）的直线l与抛物线y2=2x有且只有一个交点，则这样的直线有（ ）条．
发布：2024/12/29 10:30:1组卷：26引用：5难度：0.7
