【温故知新】（1）九（I）班数学兴趣小组认真探究了课本P91第13题：如图1，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3DF，图中有哪几对相似三角形？把它们表示出来，并说明理由．
①小华很快找出△ABE∽△DEF，他的思路为：设正方形的边长AB=4a,则AE=DE=2a,DF=a,利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程；
②小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于△ABE与△DEF中的比例线段来证明△EBF与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；
【拓展创新】
（2）如图2，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC．（AB＞AE）
①求证：△AEF∽△ECF；
②设BC=2，AB=a,是否存在a值，使得△AEF与△BFC相似．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【考点】相似形综合题．
【答案】（1）①证明见解答过程；
②图中还有△ABE∽△EBF，△DEF∽△EBF，证明△ABE∽△EBF的过程见解答；
（2）①证明见解答过程；
②存在a值，使得△AEF与△BFC相似，a的值是．
②图中还有△ABE∽△EBF，△DEF∽△EBF，证明△ABE∽△EBF的过程见解答；
（2）①证明见解答过程；
②存在a值，使得△AEF与△BFC相似，a的值是
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【解答】
【点评】
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发布：2024/7/25 8:0:9组卷：565引用：2难度：0.3
相似题
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1．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是上底AD的中点，P是腰AB上一动点，连接PE并延长，交射线CD于点M，作EF⊥PE，交下底BC于点F，连接MF交AD于点N，连接PF，AB=AD=4，BC=6，点A、P之间的距离为x,△PEF的面积为y.
（1）当点F与点C重合时，求x的值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠CMF=∠PFE时，求△PEF的面积．发布：2025/1/28 8:0:2组卷：240引用：1难度：0.5 -
2．【感知】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是边AC、BC的中点，连接DE．则△CDE与△CAB的面积比为．
【探究】将图①的△CDE绕着点C按顺时针方向旋转一定角度，使点E落在△ABC内部，连接AD、BE，并延长BE分别交AC、AD于点O、F，其它条件不变，如图②．
（1）求证：△ACD∽△BCE．
（2）求证：AD⊥BF．
【应用】将图②的△CDE绕着点C按顺时针方向旋转，使点D恰好落在边BC的延长线上，连接AD、BE，BE的延长线交AD于点F，其它条件不变，如图③，若AC=4，BC=3，则BF的长为．
发布：2025/1/28 8:0:2组卷：302引用：1难度：0.1 -
3．【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多……
（1）【问题提出】如图①，PC是△PAB的角平分线，求证．PAPB=ACBC
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明；小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．
（2）【理解应用】填空：如图②，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，CD平分∠ACB交AB于点D，则BD长度为 ；
（3）【深度思考】如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点，连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠点C恰好落在边AB上的E点处．若AC=1，AB=2，则DE的长为 ；
（4）【拓展升华】如图④，△ABC中，AB=6，AC=4，AD为∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线EF交BC延长线于F，连接AF，当BD=3时，AF的长为 ．
发布：2025/1/28 8:0:2组卷：354引用：1难度：0.1
