综合与实践：在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定该正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“启航”小组的同学在经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A和点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将正方形纸片ABCD对折，使点B和点D重合，然后展开铺平，折痕为AC，AC交EF于点P；
第3步：沿DE折叠正方形纸片ABCD，DE交AC于点G；
第4步：过点G折叠正方形纸片ABCD，使折痕MN∥AD．
则点M为AB边的三等分点．证明过程如下：
由题意，可知E是AB的中点，P是AC的中点，
∴EP=12BC=12AD，EP∥BC∥AD．
∴∠ADG=∠PEG，∠DAG=∠EPG．
∴△ADG ∽∽△PEG．∴AGPG=DAEP=2．
设PG=x,则AG=2x2x．
∴AP=PC=3x.∴AGGC=2xx+3x=12．
易得MG∥BC．∴AGGC=AMMB=12，即点M为AB边的三等分点．
“奋进”小组的同学是这样操作的：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A和点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；
第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；
第3步：延长EG交AD于点H．
（1）“启航”小组的证明过程中，两处“”上的内容依次为 ∽∽，2x2x．
（2）结合“奋进”小组的操作过程，判断点H是否为AD边的三等分点，并说明理由．
（3）【拓展应用】在边长为3的正方形ABCD中，点E是射线BA上一动点，连接CE，将△EBC沿CE翻折得到△EGC，直线EG与直线AD交于点H．若DH=13AD，请直接写出BE的长．
EP
=
1
2
BC
=
1
2
AD
AG
PG
=
DA
EP
=
2
AG
GC
=
2
x
x
+
3
x
=
1
2
AG
GC
=
AM
MB
=
1
2
DH
=
1
3
AD
【考点】相似形综合题．
【答案】∽；2x；∽；2x
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：491引用：3难度：0.1
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1．如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，CE=CD，AB=nAE，连接AC、DM⊥AC，垂足为M．
（1）求证：CM•EC=AE•DM；
（2）如图2，n=2，连接EM，求的值；EMMC
（3）如图3，连接BM，若BM=AB，直接写出sin∠EBM的值．
发布：2025/6/15 14:30:2组卷：48引用：1难度：0.1 -
2．在△ABC中，CD是中线，E，F分别为BC，AC上的一点，连接EF交CD于点P．
（1）如图1，若F为AC的中点，CE=2BE，求的值；DFEC
（2）如图2，设=m,CEBC=n（n＜CFAC），若m+n=4mn,求证：PD=PC；12
（3）如图3，F为AC的中点，连接AE交CD于点Q，若QD=QP，直接写出的值．BEEC
发布：2025/6/15 15:0:1组卷：334引用：2难度：0.3 -
3．矩形ABCD中，AB=nAD（n＞1），点P为对角线AC上的一个动点（不与A、C两点重合），过点P作直线MN⊥AC，分别交射线AB、射线AD于点M、N．
（1）如图1，当点N与点D重合时，求的值（用含有n的代数式表示）．PMPD
（2）如图2，当点M为AB边的中点，且DP=DA时，求n的值．
（3）如图3，当n=2，移动点P，使得△APD与△BPC相似，则的值=．AMAD
发布：2025/6/15 15:0:1组卷：107引用：1难度：0.2
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