综合与实践：在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定该正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“启航”小组的同学在经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A和点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；
第2步：再将正方形纸片ABCD对折，使点B和点D重合，然后展开铺平，折痕为AC，AC交EF于点P；
第3步：沿DE折叠正方形纸片ABCD，DE交AC于点G；
第4步：过点G折叠正方形纸片ABCD，使折痕MN∥AD．
则点M为AB边的三等分点．证明过程如下：
由题意，可知E是AB的中点，P是AC的中点，
∴EP=12BC=12AD，EP∥BC∥AD．
∴∠ADG=∠PEG，∠DAG=∠EPG．
∴△ADG ∽∽△PEG．∴AGPG=DAEP=2．
设PG=x,则AG=2x2x．
∴AP=PC=3x.∴AGGC=2xx+3x=12．
易得MG∥BC．∴AGGC=AMMB=12，即点M为AB边的三等分点．
“奋进”小组的同学是这样操作的：
第1步：如图2所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A和点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；
第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；
第3步：延长EG交AD于点H．
（1）“启航”小组的证明过程中，两处“”上的内容依次为 ∽∽，2x2x．
（2）结合“奋进”小组的操作过程，判断点H是否为AD边的三等分点，并说明理由．
（3）【拓展应用】在边长为3的正方形ABCD中，点E是射线BA上一动点，连接CE，将△EBC沿CE翻折得到△EGC，直线EG与直线AD交于点H．若DH=13AD，请直接写出BE的长．
EP
=
1
2
BC
=
1
2
AD
AG
PG
=
DA
EP
=
2
AG
GC
=
2
x
x
+
3
x
=
1
2
AG
GC
=
AM
MB
=
1
2
DH
=
1
3
AD
【考点】相似形综合题．
【答案】∽；2x；∽；2x
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：473引用：3难度：0.1
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1．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是上底AD的中点，P是腰AB上一动点，连接PE并延长，交射线CD于点M，作EF⊥PE，交下底BC于点F，连接MF交AD于点N，连接PF，AB=AD=4，BC=6，点A、P之间的距离为x,△PEF的面积为y.
（1）当点F与点C重合时，求x的值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠CMF=∠PFE时，求△PEF的面积．发布：2025/1/28 8:0:2组卷：240引用：1难度：0.5 -
2．【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多……
（1）【问题提出】如图①，PC是△PAB的角平分线，求证．PAPB=ACBC
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明；小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．
（2）【理解应用】填空：如图②，Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，CD平分∠ACB交AB于点D，则BD长度为 ；
（3）【深度思考】如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点，连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠点C恰好落在边AB上的E点处．若AC=1，AB=2，则DE的长为 ；
（4）【拓展升华】如图④，△ABC中，AB=6，AC=4，AD为∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线EF交BC延长线于F，连接AF，当BD=3时，AF的长为 ．
发布：2025/1/28 8:0:2组卷：352引用：1难度：0.1 -
3．【感知】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是边AC、BC的中点，连接DE．则△CDE与△CAB的面积比为．
【探究】将图①的△CDE绕着点C按顺时针方向旋转一定角度，使点E落在△ABC内部，连接AD、BE，并延长BE分别交AC、AD于点O、F，其它条件不变，如图②．
（1）求证：△ACD∽△BCE．
（2）求证：AD⊥BF．
【应用】将图②的△CDE绕着点C按顺时针方向旋转，使点D恰好落在边BC的延长线上，连接AD、BE，BE的延长线交AD于点F，其它条件不变，如图③，若AC=4，BC=3，则BF的长为．
发布：2025/1/28 8:0:2组卷：302引用：1难度：0.1
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