在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2-2x+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式，并写出点D的坐标；
（2）将直线BC绕点B顺时针旋转，交y轴于点E．此时旋转角∠EBC等于∠ABD．
①求点E的坐标；
②二次函数y=x2+2bx+b2-1的图象始终有一部分落在△ECB的内部，求实数b的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）抛物线的表达式为y=x2-2x-3；顶点D坐标为（1，-4）；
（2）①点E的坐标为（0，1）；
②当-4＜b＜时，二次函数y=x2+2bx+b2-1的图象始终有一部分落在△ECB的内部．
（2）①点E的坐标为（0，1）；
②当-4＜b＜
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：552引用：1难度：0.1
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1．如图，已知二次函数y=x2+mx+8的图象交y轴于点A，作AB平行于x轴，交函数图象于另一点B（点B在第一象限）．作BC垂直于x轴，垂足为C，点D在BC上，且．点E是线段AB上的动点（B点除外），将△DBE沿DE翻折得到△DB′E．CD=13BD
（1）当∠BED=60°时，若点B'到y轴的距离为，求此时二次函数的表达式；3
（2）若点E在AB上有且只有一个位置，使得点B'到x轴的距离为3，求m的取值范围．发布：2025/5/23 1:0:1组卷：857引用：4难度：0.1 -
2．已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A（-1，0）和B两点，且AB=5，与y轴交于C，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＜x2≤-1时，总有y1＜y2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线l：y=kx+b与该抛物线交于另一点E，与线段BC交于点F．
①若∠EFB=45°，求点E的坐标；
②当时，t≤k≤t+14的最小值是AFEF，求t的值．52发布：2025/5/23 1:30:2组卷：168引用：1难度：0.3 -
3．如图，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx-2过点B（-2，2），点C是直线OB与抛物线的另一个交点，且点B与点C关于原点对称．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t（-2＜t＜2），当t为何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由．
发布：2025/5/23 1:30:2组卷：191引用：2难度：0.3
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