在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，点D是边AB上的一动点，点F是边CD上的动点，连接AF并延长至点E，交BC于G，连接BE，∠AFC=60°，且∠E+∠BDF=180°，
（1）如图1，若BC=43，BE=2，求AE的长；
（2）如图2，若D是AB的中点，连接DE、BF，求证：DF+EF=3BF；
（3）如图3，在（2）问的条件下，将△BDE绕点B顺时针旋转，旋转中的三角形记为ΔD1BE1，取D1E1的中点为M，连接CM．当CM取最大时，将△ADF沿直线CM翻折，得到△A1D1F1，直接写出A1M2EM2的值．
3
3
A
1
M
2
E
M
2
【考点】几何变换综合题．
【答案】（1）2；
（2）证明过程详见解答；
（3）．
7
（2）证明过程详见解答；
（3）
17
+
4
3
5
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：232引用：1难度：0.1
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1．问题背景
如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．DFDE
拓展创新
如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．
发布：2025/5/26 3:0:2组卷：4451引用：14难度：0.4 -
2．如图1，△ABC中，AB=AC，∠ABC＞45°，△BCD是以BC为斜边的等腰直角三角形．
（1）求∠ADB的度数；
（2）将AB绕点A逆时针旋转90°得到AG，连接BG，GD，GC．
①若AD=4，，请在图2中补全图形，并求CD的长；tan∠CGD=12
②过点C作CF⊥BG，垂足为F，请写出FD，FB，FC之间的数量关系，并证明你的结论．发布：2025/5/26 5:0:1组卷：375引用：1难度：0.2 -
3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D是直线AC右侧一点，且
，连接BD．将△ACD绕点A顺时针旋转α得到△ABE，连接DE．∠ADC=12∠BAC
（1）观察猜想
如图1，当α=60°时，AD、CD、BD的数量关系是 ；
（2）类比探究
如图2，当α=90°时，试判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请说明理由；若不成立，请写出线段AD，BD，CD之间的数量关系，并加以证明．
（3）拓展应用
如图3，在矩形ABCD中，，AD=4，EP是△ABD的中位线，将△AEP绕点C在平面内自由旋转，当△BDE为直角三角形时，直接写BE的长．BA=43
发布：2025/5/26 5:0:1组卷：284引用：1难度：0.3
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