已知函数f（x）=lnx+
a
x
+b.
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）的最小值为0，x₁，x₂（x₁＜x₂）为函数g（x）=f（x）-
1
2
的两个零点，证明：e
x
2
-elnx₁＞2；
（3）证明：对于任n∈N^*，
1
n
+
1
+
1
n
+
2
+…+
1
2
n
＜ln2．

【答案】（1）①当a≤0时，f（x）没有极值，
②当a＞0时，f（x）极小值为f（a）=lna+b+1，无极大值；
（2）证明过程见解答；
（3）证明过程见解答．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：187引用：1难度：0.2

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1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：296引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：47引用：4难度：0.5
解析
3．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：187引用：2难度：0.1
解析

已知函数f（x）=lnx+ax+b.（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的最小值为0，x1，x2（x1＜x2）为函数g（x）=f（x）-12的两个零点，证明：ex2-elnx1＞2；（3）证明：对于任n∈N*，1n+1+1n+2+…+12n＜ln2．