一个三位数A各个数位上的数字均不相等，若将A的个位上的数字移到最左边得到一个新的三位数A1，且A1被4除余1，再将A1的个位上的数字移到最左边得到另一个新的三位数A2，且A2被4除余2，则称原数为4的“友谊数”．例如：三位数A=256，则A1=625，且625÷4=156…1，A2=562，且562÷4=140…2，所以256是4的“友谊数”．
（1）分别判断自然数612和916是否是“友谊数”，并请说明理由．
（2）若“友谊数”A百位上的数字是a,十位上的数字是1，个位上的数字是c,其中a＜c,重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，其最大数与最小数的差记为F（A），若F（A）4为整数，求出所有符合条件的A．
F
（
A
）
4
【答案】（1）612是4的“友谊数”；916不是4的“友谊数”；
（2）415或419或819．
（2）415或419或819．
【解答】
【点评】
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发布：2025/6/19 21:30:2组卷：226引用：2难度：0.6
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1．材料一：如果四位数n满足千位数字与百位数字的差等于十位数字与个位数字的差，则称这个数为“等差数”，例如：3423，因为3-4=2-3，所以3423是一个“等差数”．
材料二：对于一个四位数n,将这个四位数n千位上的数字与百位上的数字对调、十位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数m,记F（n）=，例如n=1425，对调千位上数字与百位上数字及十位上数字与个位上数字得到4152，所以F（n）=n-m101=-27．1425-4152101
（1）判断n=6273是否是“等差数”，并求出F（n）的值；
（2）若s,t都是“等差数”，其中s=100x+y+7381，t=1000a+10b+524（0≤x≤6，0≤y≤7，1≤a≤9，0≤b≤7，x、y、a、b都是整数），规定：k=，若2F（s）-F（t）=27，求k的最大值．F（s）F（t）发布：2025/6/19 22:30:1组卷：687引用：4难度：0.4 -
2．如果x2+x-1=0，那么代数式x3-7+2x2的值为（ ）
发布：2025/6/19 21:0:2组卷：101引用：1难度：0.7 -
3．如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的差为1，那么称M为“和差数”．“和差数”M的千位数字的二倍与个位数字的和记为P（M），百位数字与十位数字的和记为F（M），令G（M）=
，当G（M）为整数时，则称M为“整和差数”．P（M）F（M）
例如：∵6342满足6+4=10，3-2=1，
且P（6342）=14，F（6342）=7，即G（6342）=2为整数，
∴6342是“整和差数”．
又如∵4261满足4+6=10，2-1=1，
但P（4261）=9，F（4261）=8，即G（4261）=不为整数，98
∴4261不是“整和差数”．
（1）判断7736，5352是否是“整和差数”？并说明理由．
（2）若M=2000a+1000+100b+10c+d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“整和差数”，求满足条件的所有M的值．发布：2025/6/19 22:0:1组卷：752引用：4难度：0.5
