小亮学习了圆周角定理的推论“圆内接四边形对角互补”后，勇于思考大胆创新，并结合三角形的角平分线的性质进行了以下思考和发现：
（1）①如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=85°，则∠ADE=85°85°；
②如图2，在△ABC中，BE，CE分别平分∠ABC和∠ACD，BE，CE相交于点E，∠A=42°，则∠E=2121°；
（2）小亮根据这个发现，又进行了以下深入研究：
如图3，四边形ABCD内接于⊙O，对角线BD是⊙O的直径，AC=BC，点F是弧AD的中点，求∠E的度数[（1）中的结论可直接用]．
【考点】圆的综合题．
【答案】85°；21
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/24 19:30:1组卷：127引用：1难度：0.4
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1．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点．CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，交半圆O于点E．连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD=2，AB=3，求AC的长；
（3）若AE=2DE．试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状为．发布：2025/5/25 1:0:1组卷：395引用：2难度：0.3 -
2．如图，四边形ABCE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F，点C是BF的中点，∠BCD=∠CAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：△CEF是等腰三角形；
（3）若BD=1，CD=2，求cos∠CBA的值及EF的长．发布：2025/5/25 1:0:1组卷：818引用：7难度：0.1 -
3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2=CE•CA；
（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE=3，试求阴影部分的面积．发布：2025/5/25 1:0:1组卷：3655引用：17难度：0.4
