如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于点A（-1，0）、B（4，0），交y轴于点C，点P是直线BC上方抛物线上的一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PBC的面积的最大值以及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线BC向右平移74个单位得到直线l,直线l交对称轴右侧的抛物线于点Q，连接PQ，点R为直线BC上的一动点，请问在平面直角坐标系内是否存在一点T，使得四边形PQTR为菱形，若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
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【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+3x+4．
（2）8，P（2，6）．
（3）存在．T有两点，分别为：（+，-）或（-+，+）．
（2）8，P（2，6）．
（3）存在．T有两点，分别为：（
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1301引用：3难度：0.1
相似题
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1．如图所示，二次函数y=k（x-1）2+2的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．发布：2025/6/22 14:0:2组卷：5631引用：5难度：0.1 -
2．六个函数分别是①y=x；②y=-x+1；③y=x2；④y=-x2+2x-1；⑤y=x3；⑥y=-x3+1．
（1）其中一次函数是①，②，二次函数是③，④，则⑤，⑥的函数可以定义为；
（2）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x3的图象和性质；
①填写下表，画出函数的图象；
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
（3）若点A（a,b）（a＞0）是函数y=x3图象上一点，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C，若顺次连接A，B，C，则△ABC的形状为x … -2 - 32-1 0 1 322 … y=x3 … … ；
（4）函数y=-x3+1的图象关于点成中心对称图形．发布：2025/6/22 8:30:1组卷：47引用：2难度：0.3 -
3．如图1，二次函数y=ax2-2ax-3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求抛物线的函数关系式；
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF=1：2，求点M、N的坐标；
③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．
发布：2025/6/22 11:0:2组卷：4122引用：11难度：0.1
