已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点M（0，-1），长轴长是短轴长的2倍．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l经过点N（2，1）且与椭圆C相交于A、B两点（异于点M），记直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2，证明：k1+k2为定值．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）+y2=1；
（2）证明：若直线AB的斜率不存在，则直线l的方程为x=2，
此时直线与椭圆相切，不符合题意．
设直线AB的方程为y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，
联立
，得（1+4k2）x2-8k（2k-1）x+16k2-16k=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．
k1=，k2=，
∴k1+k2=+=
=2k-=2k-=1．
所以k1+k2为定值，且定值为1．
x
2
4
（2）证明：若直线AB的斜率不存在，则直线l的方程为x=2，
此时直线与椭圆相切，不符合题意．
设直线AB的方程为y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，
联立
y = kx - 2 k + 1 |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
8
k
（
2
k
-
1
）
1
+
4
k
2
16
k
2
-
16
k
1
+
4
k
2
k1=
y
1
+
1
x
1
y
2
+
1
x
2
∴k1+k2=
y
1
+
1
x
1
y
2
+
1
x
2
x
2
（
k
x
1
-
2
k
+
2
）
+
x
1
（
k
x
2
-
2
k
+
2
）
x
1
x
2
=2k-
（
2
k
-
2
）
（
x
1
+
x
2
）
x
1
x
2
（
2
k
-
2
）
8
k
（
2
k
-
1
）
16
k
2
-
16
k
所以k1+k2为定值，且定值为1．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：220引用：9难度：0.5
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