已知f（x）=（x-1）ex+12ax2+1，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）=f（x）-（x-1）ex-1+xcosx-sinx在（0，π2]上有1个零点，求实数a的取值范围．
f
（
x
）
=
（
x
-
1
）
e
x
+
1
2
a
x
2
+
1
，
a
∈
R
（
0
，
π
2
]
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【答案】（1）当a≥0时，f（x）的单调递减区间为（-∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，当a=-1时，f（x）在R上单调递增；
当-1＜a＜0时，f（x）在（-∞，ln（-a））单调递增，在（ln（-a），0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
当a＜-1时，f（x）在（-∞，0）单调递增，在（0，ln（-a））单调递减，在（ln（-a），+∞）单调递增；
（2）当时，g（x）在有1个零点．
当a＜0时，当a=-1时，f（x）在R上单调递增；
当-1＜a＜0时，f（x）在（-∞，ln（-a））单调递增，在（ln（-a），0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
当a＜-1时，f（x）在（-∞，0）单调递增，在（0，ln（-a））单调递减，在（ln（-a），+∞）单调递增；
（2）当
0
＜
a
≤
8
π
2
（
0
，
π
2
]
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/6/27 10:35:59组卷：111引用：2难度：0.3
相似题
-
1．已知函数f（x）=x3-2kx2+x-3在R上不单调，则k的取值范围是 ；
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：236引用：3难度：0.8 -
2．在R上可导的函数f（x）的图象如图示，f′（x）为函数f（x）的导数，则关于x的不等式x•f′（x）＜0的解集为（ ）发布：2024/12/29 13:0:1组卷：265引用：7难度：0.9 -
3．已知函数f（x）=ax2+x-xlnx（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1≠x2），证明：．x1•x2＞e2发布：2024/12/29 13:30:1组卷：143引用：2难度：0.2
