若四边形的一条对角线将这个四边形分成两个相似的三角形（不全等），那么我们将这条对角线叫做这个四边形的“九章线”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠DAB=110°，∠DCB=125°，对角线AC平分∠DAB，求证：AC是四边形ABCD的“九章线”；
（2）如图2，直线y=-3x+23分别与x,y轴相交于A，B两点，P为反比例函数y=kx（k＜0）上的点，且AO是四边形ABOP的“九章线”，求k的值；
（3）如图3，AC是四边形ABCD的“九章线”且平分∠BCD，点C的坐标为（4，1），AC∥x轴，∠BCD=45°，连接BD，△BCD的面积为924．过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于E，F两点，记线段AC的长为|m.若直线y=mx与抛物线恰好有3个交点，求实数a的值．
y
=
-
3
x
+
2
3
y
=
k
x
9
2
4
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）见解答；（2）k=-6；（3）a=或．
3
-
13
+
2
22
9
-
13
-
2
22
9
【解答】
【点评】
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发布：2025/5/21 14:0:2组卷：293引用：1难度：0.2
相似题
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1．如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（1，0），B（-3，0）两点，交y轴于点C（0，3），点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BCE面积最大时，求M点的坐标；
（3）如图2，是否存在以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/23 10:30:1组卷：611引用：5难度：0.1 -
2．如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于点A（-3，0），点B（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若以A、O、M、N为顶点为顶点的四边形是以OA为边的平行四边形，求点M的坐标．发布：2025/5/23 10:30:1组卷：920引用：3难度：0.2 -
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m.是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/23 10:0:1组卷：3750引用：13难度：0.4
