已知函数f（x）=m（
x
2
2
-klnx）+n[e^x+1（
1
4
e^x+1-ax+a-1）]，其中e=2.718…是自然对数的底数，f′（x）是函数f（x）的导数．
（Ⅰ）若m=1，n=0，
（ⅰ）当k=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程．
（ⅱ）当k＞0时，判断函数f（x）在区间（1，
e
]上零点的个数．
（Ⅱ）若m=0，n=1，当a=
7
8
时，求证：若x₁≠x₂，且x₁+x₂=-2，则f（x₁）+f（x₂）＞2．

【答案】（Ⅰ）（i）

；
（ii）当0＜k＜e时，f（x）在区间（1，

]上无零点；
当k≥e时，f（x）在区间（1，

]上仅有一个零点；
（Ⅱ）证明见解析．

【解答】

【点评】

声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。

发布：2024/6/27 10:35:59组卷：380引用：2难度：0.2

相似题

1．已知函数
f
（
x
）
=
ln
2
+
x
2
-
x
+
1
，若关于x的不等式
f
（
k
e
x
）
+
f
（
-
1
2
x
）
＞
2
对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（　　）
A．（
1
2
e
，+∞） B．（
1
2
e
，
2
e
2
） C．（
1
2
e
，
2
e
2
] D．（
2
e
2
，1]
发布：2025/1/5 18:30:5组卷：299引用：2难度：0.4
解析
2．已知函数f（x）=
e
x
-
a
x
2
1
+
x
．
（1）若a=0，讨论f（x）的单调性．
（2）若f（x）有三个极值点x₁，x₂，x₃．
①求a的取值范围；
②求证：x₁+x₂+x₃＞-2．
发布：2024/12/29 13:0:1组卷：198引用：2难度：0.1
解析
3．已知函数f（x）=ax³+x²+bx（a,b∈R）的图象在x=-1处的切线斜率为-1，且x=-2时，y=f（x）有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．
发布：2024/12/29 12:30:1组卷：48引用：4难度：0.5
解析

1．已知函数f（x）=ln2+x2-x+1，若关于x的不等式f（kex）+f（-12x）＞2对任意x∈（0，2）恒成立，则实数k的取值范围（ ）