在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx-2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【考点】圆与圆锥曲线的综合．
【答案】（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
曲线y=x2+mx-2与x轴交于A、B两点，
可设A（x1，0），B（x2，0），
由韦达定理可得x1x2=-2，
若AC⊥BC，则kAC•kBC=-1，
即有•=-1，
即为x1x2=-1这与x1x2=-2矛盾，
故不出现AC⊥BC的情况；
（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0），
由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx-2=0等价，
可得D=m，F=-2，
圆的方程即为x2+y2+mx+Ey-2=0，
由圆过C（0，1），可得0+1+0+E-2=0，可得E=1，
则圆的方程即为x2+y2+mx+y-2=0，
另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），
令x=0，可得y2+y-2=0，
解得y=1或-2．
即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，-2），
则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
曲线y=x2+mx-2与x轴交于A、B两点，
可设A（x1，0），B（x2，0），
由韦达定理可得x1x2=-2，
若AC⊥BC，则kAC•kBC=-1，
即有
1
-
0
0
-
x
1
1
-
0
0
-
x
2
即为x1x2=-1这与x1x2=-2矛盾，
故不出现AC⊥BC的情况；
（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F＞0），
由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx-2=0等价，
可得D=m，F=-2，
圆的方程即为x2+y2+mx+Ey-2=0，
由圆过C（0，1），可得0+1+0+E-2=0，可得E=1，
则圆的方程即为x2+y2+mx+y-2=0，
另解：设过A、B、C三点的圆在y轴上的交点为H（0，d），
令x=0，可得y2+y-2=0，
解得y=1或-2．
即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，-2），
则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：6260引用：11难度：0.3
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