数学问题：计算

1

m

+

1

m

2

+

1

m

3

+…+

1

m

n

（其中m,n都是正整数，且m≥2，n≥1）．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算

1

2

+

1

2

2

+

1

2

3

+…+

1

2

n

．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为

1

2

；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为

1

2

+

1

2

2

；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为

1

2

+

1

2

2

+

1

2

3

+…+

1

2

n

，最后空白部分的面积是

1

2

n

．
根据第n次分割图可得等式：

1

2

+

1

2

2

+

1

2

3

+…+

1

2

n

=1-

1

2

n

．

探究二：计算

1

3

+

1

3

2

+

1

3

3

+…+

1

3

n

．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为

2

3

；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为

2

3

+

2

3

2

；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为

2

3

+

2

3

2

+

2

3

3

+…+

2

3

n

，最后空白部分的面积是

1

3

n

．
根据第n次分割图可得等式：

2

3

+

2

3

2

+

2

3

3

+…+

2

3

n

=1-

1

3

n

，
两边同除以2，得

1

3

+

1

3

2

+

1

3

3

+…+

1

3

n

=

1

2

-

1

2

×

3

n

．

探究三：计算

1

4

+

1

4

2

+

1

4

3

+…+

1

4

n

．
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）

解决问题：计算

1

m

+

1

m

2

+

1

m

3

+…+

1

m

n

．
（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）
根据第n次分割图可得等式：

3

4

+

3

4

2

+

3

4

3

+…+

3

4

n

=1-

1

4

n

3

4

+

3

4

2

+

3

4

3

+…+

3

4

n

=1-

1

4

n

，
所以，

1

m

+

1

m

2

+

1

m

3

+…+

1

m

n

=

1

m

-

1

-

1

（

m

-

1

）

×

m

n

1

m

-

1

-

1

（

m

-

1

）

×

m

n

．
拓广应用：计算

5

-

1

5

+

5

2

-

1

5

2

+

5

3

-

1

5

3

+…+

5

n

-

1

5

n

．