如图，△ABC为等边三角形，点D为AC边上一动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转角α得线段BE，连接CE、DE，其中CE与AB交于点F．
（1）如图1，若D为AC中点，α=90°，BC=4，求BF的长；
（2）如图2，若∠ABE=∠ADB，猜想线段AD，BF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，将△BDE沿BD翻折得△BDE'，M为AB的中点，连接ME′，当ME′最小时，在△BCD内找一点P，使3PB+2PD+7PC的值最小，若BC=4，直接写出3PB+2PD+7PC的最小值．
3
PB
+
2
PD
+
7
PC
3
PB
+
2
PD
+
7
PC
【考点】几何变换综合题．
【答案】（1）见解析；
（2）AD=2BF，证明见解析；
（3）2．
（2）AD=2BF，证明见解析；
（3）2
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【解答】
【点评】
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发布：2024/4/23 12:26:7组卷：444引用：2难度：0.2
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1．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．
（1）求证：BD=CE；
（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；
（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．发布：2025/6/9 23:30:1组卷：1323引用：7难度：0.3 -
2．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠F=90°，∠B=30°，BC=EF，点D在AB边上，BD=DF，∠DCA=60°．
（1）求证：点D是线段AB的中点；
（2）求∠EDF的度数；
（3）将△DEF绕着点D旋转，DE，DF分别交线段BC于点M，N，当∠CDF=45°时，试探索线段BM，MN与CN的数量关系．发布：2025/6/10 1:0:1组卷：347引用：4难度：0.1 -
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，令∠B=α＜30°，线段BC的垂直平分线分别交线段AB、BC于点D，E．
（1）如图1，用等式表示DE和AC之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，将射线AC绕点A逆时针旋转2α交线段DE于点F，
①依题意补全图形；
②用等式表示AF，EF，DE之间的数量关系，并证明．发布：2025/6/10 2:0:5组卷：164引用：1难度：0.3
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