在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=ax2+bx+c与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，tan∠ABO=233，B（1，0），点A横坐标为-2，BC=4．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点 A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
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【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2-x+2，顶点坐标为：（-1，）；
（2）N点坐标为（0，2-3）或（，）；
（3）E（-1，-）、F（0，）或E（-1，-）、F（-4，）．
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（2）N点坐标为（0，2
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1004引用：4难度：0.3
相似题
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1．已知：如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
发布：2025/6/13 5:30:2组卷：4390引用：34难度：0.1 -
2．已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（m,0）两点，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求b,c,m的值；
（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
发布：2025/6/13 11:0:2组卷：2190引用：6难度：0.3 -
3．如图所示，抛物线y=-x2+bx+3经过点B（3，0），与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F，连接AC、FC．
①若点F在第一象限内，当∠BCF=∠BCA时，求点F的坐标；
②若∠ACO+∠FCB=45°，则点F的横坐标为 ．
发布：2025/6/13 11:0:2组卷：471引用：3难度：0.3
