设椭圆C：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=1（a＞b＞0），右顶点是A（2，0），离心率为

1

2

．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与椭圆交于两点M，N（M，N不同于点A），若

AM

•

AN

=0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．

【考点】直线与椭圆的综合．

【答案】（1）．
（2）证明：当直线MN斜率不存在时，设l_MN：x=m，
与椭圆方程联立得：y=，|MN|=2，
设直线MN与x轴交于点B，|MB|=|AM|，即2-m=，
∴m=或m=2（舍），
∴直线m过定点（，0）；
当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则直线MN：y=kx+b，
与椭圆方程联立，得（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，
x₁+x₂=-，x₁x₂=，
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=kx₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²，
Δ=（8kb）²-4（4k²+3）（4b²-12）＞0，k∈R，
=0，则（x₁-2，y₁）（x₂-2，y₂）=0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，
∴7b²+4k²+16kb=0，
∴b=-k，或b=-2k，
∴直线lMN：y=k（x-）或y=k（x-2），
∴直线过定点（，0）或（2，0）舍去；
综上知直线过定点（，0）．