已知函数f（x）=（1x-12x2）（x-a）-lnx-12x+b，其中a,b∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）存在三个零点x1、x2、x3（其中x1＜x2＜x3），证明：
（i）若a＞1，函数g（x）=lnx+12x，使得0＜b-g（a）＜a-12a；
（ii）若0＜a＜1，则（1x1+1x3）（1x1+1x3-2-2a）＜11a2+38a+113a（a2+8a+1）．
f
（
x
）
=
（
1
x
-
1
2
x
2
）
（
x
-
a
）
-
lnx
-
1
2
x
+
b
g
（
x
）
=
lnx
+
1
2
x
0
＜
b
-
g
（
a
）
＜
a
-
1
2
a
（
1
x
1
+
1
x
3
）
（
1
x
1
+
1
x
3
-
2
-
2
a
）
＜
11
a
2
+
38
a
+
11
3
a
（
a
2
+
8
a
+
1
）
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【答案】（1）当a＞1时，x∈（0，1），f（x）单调递减，x∈（1，a），f（x）单调递增，x∈（a，+∞），f（x）单调递减；
当a=1时，x∈（0，+∞），f（x）单调递减；
当0＜a＜1时，x∈（0，a），f（x）单调递减，x∈（a，1），f（x）单调递增，x∈（1，+∞），f（x）单调递减；
当a≤0时，x∈（0，1），f（x）单调递减，x∈（1，+∞），f（x）单调递增．
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析．
当a=1时，x∈（0，+∞），f（x）单调递减；
当0＜a＜1时，x∈（0，a），f（x）单调递减，x∈（a，1），f（x）单调递增，x∈（1，+∞），f（x）单调递减；
当a≤0时，x∈（0，1），f（x）单调递减，x∈（1，+∞），f（x）单调递增．
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/23 12:26:7组卷：43引用：2难度：0.2
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