在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A′B′ED，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′．
（1）【观察发现】A′D与B′E是什么位置关系？
（2）【思考表达】连接B′C，判断∠DEC与∠B′CE 是否相等，并说明理由；
（3）如图（2），延长DC交A′B′于点G，连接EG，请探究∠DEG的度数，并说明理由；
（4）【综合运用】如图（3），当∠B=60° 时，连接B′C，延长DC交A′B′于点G，连接EG，请写出B′C，EG，DG之间的数量关系，并说明理由．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）A′D∥B′E；
（2）结论：∠DEC=∠B'CE．理由见解析部分；
（3）结论：∠DEG=90°．理由见解析部分；
（4）结论：DG2=EG2+B′C2．理由见解析部分．
（2）结论：∠DEC=∠B'CE．理由见解析部分；
（3）结论：∠DEG=90°．理由见解析部分；
（4）结论：DG2=EG2+
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【解答】
【点评】
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发布：2025/5/23 14:30:1组卷：458引用：4难度：0.1
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1．[证明体验]
（1）如图1，在△ABC中，点D在边BC上，点F在边AC上，AB=AD，FB=FC，AD与BF相交于点E．求证：∠ABF=∠CAD．
[思考探究]
（2）如图2，在（1）的条件下，过点D作AB的平行线交AC于点G，若DE=2AE，AB=6，求DG的长．
[拓展延伸]
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC=∠ACB=67.5°，OD=2OB，OA=，求CD的长．2
发布：2025/5/23 23:30:1组卷：687引用：3难度：0.3 -
2．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E．DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AD=AE；②∠AED=∠CED；③OE=OD；④BH=HF；⑤BC-CF=2HE，其中正确的有（ ）2发布：2025/5/23 22:30:2组卷：1273引用：4难度：0.2 -
3．【问题提出】
（1）如图①，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若S△OPC=3，则S△OPD=
【问题探究】
（2）如图②，a、b是两条平行的直线，且a、b之间的距离为12，点A为直线a上一点，点B、C为直线b上两点，且点B在点C的左侧，若∠BAC=45°，求BC的最小值；
【问题解决】
（3）如图③，四边形ABCD是园林规划局欲修建的一块平行四边形园林的大致示意图，沿对角线BD修一条人行走道，沿∠BAD的平分线AP（点P在BD上）修一条园林灌溉水渠．根据规划要求，∠ABC=120°，AP=120米，且使得平行四边形ABCD的面积尽可能小，问平行四边形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值，若不存在，请说明理由．
发布：2025/5/23 22:30:2组卷：137引用：1难度：0.2
