定义：有限非空数集Ω的所有元素的“乘积”称为数集Ω的“积数”，例如：集合Ω={1，2，3}，其“积数”=1×2×3=6．
（1）若有限数集A={a₁，a₂，a₃}，求证：集合A的所有非空子集的“积数”之和S_A满足S_A=（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）-1；
（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集A={a₁，a₂，……，a_n}（n∈N*，n≥2），记集合A的所有非空子集的“积数”之和S_n，试写出S_n的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；
（3）若有限集
Ω
=
{
1
2
，
1
3
，
1
4
，…，
1
100
}
，
1）试求由Ω中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和S_奇数；
2）试求由Ω中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和S_偶数．

【答案】（1）证明见解析；
（2）S_n=（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_n）-1，n∈N*，证明见解析；
（3）1）

奇数

5049

200

；
2）

偶数

4851

200

．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：66引用：1难度：0.4

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1．在数列{a_n}中，
a
1
=
1
，
a
n
+
1
=
2
a
n
2
+
a
n
（
n
∈
N
*
）
．
（Ⅰ）分别求出a₂，a₃，a₄，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．
发布：2024/12/28 23:30:2组卷：44引用：2难度：0.6
解析
2．如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），⋯，P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜⋯＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，⋯，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐标原点）．
（1）求a₁、a₂、a₃的值及数列{a_n}的递推公式；
（2）猜想点A_n（a_n，0）的横坐标a_n关于n的表达式，并用数学归纳法证明．
发布：2024/7/13 8:0:9组卷：52引用：2难度：0.5
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3．已知点P_n（a_n，b_n）满足a_n+1=a_nb_n+1，b_n+1=
b
n
1
-
4
a
2
n
，且点P₁的坐标为（1，-1）．
（1）求过点P₁、P₂的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于任意n∈N，n≥1，点P_n都在（1）中的直线l上；
（3）试求数列{a_n}、{b_n}的通项公式．
发布：2024/8/15 5:0:1组卷：160引用：1难度：0.4
解析

1．在数列{an}中，a1=1，an+1=2an2+an（n∈N*）．（Ⅰ）分别求出a2，a3，a4，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．