已知圆C过点P（1，1），且与圆（x+3）2+（y+3）2=r2（r＞0）关于直线x+y+3=0对称．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点P作两条直线分别与圆C相交于点A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，判断直线OP与AB是否平行，并请说明理由．
【考点】关于点、直线对称的圆的方程；直线与圆相交的性质．
【答案】（1）x2+y2=2．
（2）由题意可知，直线PA和直线PB的斜率存在且互为相反数，
故可设PA所在的直线方程为y-1=k（x-1），PB所在的直线方程为y-1=-k（x-1）．
由
消去y，并整理得：（k2+1）x2+2k（1-k）x+（1-k）2-2=0．①
设A（x1，y1），又已知P（1，1），则x1、1为方程①的两相异实数根，由根与系数的关系得
．同理，若设点B（x2，y2），则可得．
于是==1．
而直线OP的斜率也是1，且两直线不重合，因此，直线OP与AB平行．
（2）由题意可知，直线PA和直线PB的斜率存在且互为相反数，
故可设PA所在的直线方程为y-1=k（x-1），PB所在的直线方程为y-1=-k（x-1）．
由
y - 1 = k （ x - 1 ） |
x 2 + y 2 = 2 |
设A（x1，y1），又已知P（1，1），则x1、1为方程①的两相异实数根，由根与系数的关系得
x
1
=
k
2
-
2
k
-
1
k
2
+
1
x
2
=
k
2
+
2
k
-
1
k
2
+
1
于是
k
AB
=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
=
k
（
x
1
-
1
）
+
k
（
x
2
-
1
）
x
1
-
x
2
k
（
x
1
+
x
2
）
-
2
k
x
1
-
x
2
而直线OP的斜率也是1，且两直线不重合，因此，直线OP与AB平行．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：129引用：4难度：0.5
