为了求一个棱长为2的正四面体的体积，某同学设计如下解法．
解：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体ACB1D1为棱长是2的正四面体，且有V四面体ACB1D1=V正方体-VB-ACB1-VA1-AB1D1-VC1-B1CD1-VD-ACD1=13V正方体=13．
（1）类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为5，13，10，求此四面体的体积：
（2）对棱分别相等的四面体ABCD中，AB=CD，AC=BD，AD=BC．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；
（3）有4条长为2的线段和2条长为m的线段，用这6条线段作为棱且长度为m的线段不相邻，构成一个三棱锥，问m为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？
[参考公式：三元均值不等式3abc≤a+b+c3（a,b,c＞0）及变形abc≤（a+b+c3）3（a,b,c＞0），当且仅当a=b=c时取得等号]
2
2
V
四面体
AC
B
1
D
1
=
V
正方体
-
V
B
-
AC
B
1
-
V
A
1
-
A
B
1
D
1
-
V
C
1
-
B
1
C
D
1
-
V
D
-
AC
D
1
1
3
V
正方体
=
1
3
5
13
10
3
abc
≤
a
+
b
+
c
3
（
a
,
b
,
c
＞
0
）
abc
≤
（
a
+
b
+
c
3
）
3
（
a
,
b
,
c
＞
0
）
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【答案】（1）2；
（2）证明过程见解答；
（3）m=时，构成的三棱锥体积最大，最大值为．
（2）证明过程见解答；
（3）m=
4
3
3
16
3
27
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：118引用：3难度：0.4
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