已知：如图，△ABC中，P、Q两点分别是边AB和AC的垂直平分线与BC的交点，连接AP和AQ，且BP=PQ=QC．
求∠C的度数．
证明：∵P、Q两点分别是边AB和AC的垂直平分线与BC的交点，
∴PA=BPBP，QC=QA．（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）
∵BP=PQ=QC，
∴在△APQ中，PQ=PA=QAPA=QA（等量代换）
∴△APQ是等边等边三角形．
∴∠AQP=60°，
∵在△AQC中，QC=QA，
∴∠C=∠QACQAC．
又∵∠AQP是△AQC的外角，
∴∠AQP=∠CC+∠QACQAC=60°．
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴∠C=30°30°．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【答案】BP；（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）；PA=QA；等边；QAC；C；QAC；30°
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2025/6/11 12:30:1组卷：286引用：4难度：0.6
相似题
-
1．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB至D，使DB=BA，延长BC至E，使CE=CA，连接AD，AE．求∠DAE的度数．发布：2025/6/14 0:0:1组卷：38引用：6难度：0.6 -
2．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．
（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为25cm,AC=11cm,求DC长．发布：2025/6/14 0:30:2组卷：526引用：3难度：0.7 -
3．求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写已知、求证、然后证明）
发布：2025/6/14 0:30:2组卷：1006引用：23难度：0.7
