已知双曲线Γ：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的焦距为4，直线l：x-my-4=0（m∈R）与Γ交于两个不同的点D、E，且m=0时直线l与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；
（3）设A、B分别是Γ的左、右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值．
x
2
a
2
y
2
b
2
【考点】直线与双曲线的综合．
【答案】（1）-y2=1；
（2）m＞或m＜-；
（3）证明：双曲线的顶点A（-，0），B（，0），
由（2）可得线段BD的垂直平分线交直线BD于点P（，），
直线BD的斜率为，可得BD的垂直平分线方程为y-=-（x-），①
AD的方程为y=（x+），②
由D在双曲线上可得-3=3，即-3=3，③
联立①②③解得xQ=+，
则线段PQ在x轴上的射影长为|xP-xQ|=．即为定值．
x
2
3
（2）m＞
3
3
（3）证明：双曲线的顶点A（-
3
3
由（2）可得线段BD的垂直平分线交直线BD于点P（
3
+
x
1
2
y
1
2
直线BD的斜率为
y
1
x
1
-
3
y
1
2
x
1
-
3
y
1
3
+
x
1
2
AD的方程为y=
y
1
x
1
+
3
3
由D在双曲线上可得
x
2
1
y
2
1
x
2
1
y
2
1
联立①②③解得xQ=
x
1
2
3
4
则线段PQ在x轴上的射影长为|xP-xQ|=
3
4
【解答】
【点评】
声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。
发布：2024/4/20 14:35:0组卷：426引用：4难度：0.5
相似题
-
1．已知双曲线C：
=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于P，Q两点．当PQ⊥x轴时，|PA|=x2a2-y2b2，△PAQ的面积为3．10
（1）求C的方程；
（2）证明：以PQ为直径的圆经过定点．发布：2024/12/18 0:0:1组卷：706引用：8难度：0.5 -
2．已知双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段BF1的中点，且BF1⊥BF2，则C的离心率为（ ）C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）发布：2024/11/8 21:0:2组卷：444引用：8难度：0.5 -
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为x2a2-y2b2=1．2+1
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线l：y=kx-1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．|MN||PQ|发布：2024/10/31 12:30:1组卷：540引用：11难度：0.5
