已知圆O：x2+y2=4与x轴交于点A（-2，0），过圆上一动点M作x轴的垂线，垂足为H，设MH的中点为N，记N的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过（-65，0）作与x轴不重合的直线l交曲线C于P，Q两点，直线OQ与曲线C的另一交点为S，设直线AP，AS的斜率分别为k1，k2.证明：k1=4k2．
（
-
6
5
，
0
）
【考点】轨迹方程．
【答案】（1）；
（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，
若点P在轴上方，则点Q在x轴下方，则，
直线OQ与曲线C的另一交点为S，则S与Q关于原点对称，
∴，
∴，
∴k1=4k2；
若点P在x轴下方，则点Q在x轴上方，
同理得：，
∴，
∴k1=4k2；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：，
由与联立，得：，
其中，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则S（-x2，-y2），
则，
∴，
则
=，
∴k1=4k2．
x
2
4
+
y
2
=
1
（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：
x
=
-
6
5
若点P在轴上方，则点Q在x轴下方，则
P
（
-
6
5
，
4
5
）
，
Q
（
-
6
5
，-
4
5
）
直线OQ与曲线C的另一交点为S，则S与Q关于原点对称，
∴
S
（
6
5
，
4
5
）
∴
k
1
=
k
AP
=
4
5
-
0
-
6
5
+
2
=
1
，
k
2
=
k
AS
=
4
5
-
0
6
5
+
2
=
1
4
∴k1=4k2；
若点P在x轴下方，则点Q在x轴上方，
同理得：
P
（
-
6
5
，-
4
5
）
，
Q
（
-
6
5
，
4
5
）
，
S
（
6
5
，-
4
5
）
∴
k
1
=
k
AP
=
-
4
5
-
0
6
5
+
2
=
-
1
，
k
2
=
k
AS
=
-
4
5
-
0
6
5
+
2
=
-
1
4
∴k1=4k2；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：
x
=
my
-
6
5
由
x
=
my
-
6
5
x
2
4
+
y
2
=
1
（
m
2
+
4
）
y
2
-
12
m
5
y
-
64
25
=
0
其中
Δ
=
144
m
2
25
+
4
×
（
m
2
+
4
）
×
64
25
＞
0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则S（-x2，-y2），
则
y
1
+
y
2
=
12
m
5
m
2
+
4
，
y
1
y
2
=
-
64
25
m
2
+
4
∴
k
1
=
k
AP
=
y
1
-
0
x
1
+
2
=
y
1
x
1
+
2
，
k
2
=
k
AS
=
-
y
2
-
0
-
x
2
+
2
=
y
2
x
2
-
2
则
k
1
k
2
=
y
1
x
1
+
2
•
x
2
-
2
y
2
=
y
1
（
m
y
2
-
16
5
）
（
m
y
1
+
4
5
）
y
2
=
m
y
1
y
2
-
16
5
y
1
m
y
1
y
2
+
4
5
（
y
1
+
y
2
）
-
4
5
y
1
=
-
64
25
m
m
2
+
4
-
16
5
y
1
-
64
25
m
m
2
+
4
+
4
5
•
12
5
m
m
2
+
4
-
4
5
y
1
=
-
64
25
m
m
2
+
4
-
16
5
y
1
-
16
25
m
m
2
+
4
-
4
5
y
1
=
4
∴k1=4k2．
【解答】
【点评】
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