如图1，△ABC是等边三角形，AD，CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点O．点P在线段DC上，点Q在边AC上，且BP=CQ．连接OP，OQ．
（1）聪聪研究发现OA=OC．
理由如下：因为AD是△ABC的角平分线，且.AB=AC，根据等腰三角形的性质①，可得AD⊥BC，且BD=DC，即AD垂直平分BC，同理，CE垂直平分AB，所以点O是△ABC三边中垂线的交点，根据线段垂直平分线的性质②，可得OA=OC．
填空：上述证明过程中，①、②两处的理由分别为 aa和 bb；（填选项前的字母）
a.“三线合一”；b.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；c.等腰三角形两个底角相等．
（2）判断OQ和OP的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，若点P是射线DC上任意一点，点Q在射线CA上，其它条件不变，当△OPC为等腰三角形时，直接写出∠COQ的度数．
.
A
B
=
AC
【考点】三角形综合题．
【答案】a；b
【解答】
【点评】
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发布：2024/7/7 8:0:9组卷：257引用：4难度：0.5
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1．综合与实践：
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1，直线m∥n,点A、B在直线m上（点B在点A的下方），过点A作AC⊥n于点C，连接BC，以C为圆心CA为半径作弧，交直线n于点D，交BC于点E．求证：∠ABC=2∠CDE．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）DE与AC交于点P，在原有问题条件不变的情况下，王老师提出新问题，请你解答．
“猜想出AB、BC、PC的数量关系，并证明．”
问题解决：（3）过点D作DQ∥BC交m于点Q（点Q在点A上方），数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当AQ=BE时，线段BE和AB有一定的数量关系，该小组提出下面的问题，请你解答．
“如图2，当AQ=BE时，求的值．”DPAB发布：2025/6/14 20:0:1组卷：171引用：2难度：0.1 -
2．如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm,∠B=∠C，BC=4cm,点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CPQ是否全等，请说明理由．
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 cm/s时，在某一时刻也能够使△BPD与△CPQ全等．
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都按逆时针方向沿△ABC的三边运动．求经过多少秒后，点P与点Q第一次相遇，并写出第一次相遇点在△ABC的哪条边上？发布：2025/6/14 20:0:1组卷：112引用：2难度：0.3 -
3．在△ABC和△DBE中，CA=CB，EB=ED，点D在AC上．
（1）如图1，若∠ABC=∠DBE=60°，求证：∠ECB=∠A；
（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC=∠DBE=45°时，求证：CE∥AB；
（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC=时，求12的值．EFDF发布：2025/6/15 3:0:1组卷：1383引用：3难度：0.4
