已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，且过点（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点P（2，0）且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若B点关于x轴的对称点为E，证明：直线AE与x轴相交于定点．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
2
2
【考点】椭圆的几何特征．
【答案】（I）+y2=1．
（II）设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-2），
联立方程组
，消去y得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0，
Δ=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，解得k2＜．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则E（x2，-y2），
∴x1+x2=，x1x2=，
∴直线AE的斜率为kAE=，
直线AE的方程为y-y1=（x-x1），
令y=0可得x=+x1=，
∵y1x2+y2x1=k（x1-2）x2+k（x2-2）x1=2kx1x2-2k（x1+x2）=2k（x1x2-x1-x2）=，
y1+y2=k（x1-2）+k（x2-2）=k（x1+x2）-4k=，
∴=1，
∴直线AE经过定点（1，0）．
x
2
2
（II）设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x-2），
联立方程组
y = k （ x - 2 ） |
x 2 2 + y 2 = 1 |
Δ=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，解得k2＜
1
2
设A（x1，y1），B（x2，y2），则E（x2，-y2），
∴x1+x2=
8
k
2
1
+
2
k
2
8
k
2
-
2
1
+
2
k
2
∴直线AE的斜率为kAE=
y
1
+
y
2
x
1
-
x
2
直线AE的方程为y-y1=
y
1
+
y
2
x
1
-
x
2
令y=0可得x=
-
y
1
（
x
1
-
x
2
）
y
1
+
y
2
y
1
x
2
+
y
2
x
1
y
1
+
y
2
∵y1x2+y2x1=k（x1-2）x2+k（x2-2）x1=2kx1x2-2k（x1+x2）=2k（x1x2-x1-x2）=
-
4
k
1
+
2
k
2
y1+y2=k（x1-2）+k（x2-2）=k（x1+x2）-4k=
-
4
k
1
+
2
k
2
∴
y
1
x
2
+
y
2
x
1
y
1
+
y
2
∴直线AE经过定点（1，0）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：157引用：4难度：0.3
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