在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1．
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．
【答案】（1）．
（2）证明：设直线PQ的方程是y=x+b，
∵直线PQ与已知圆相切，∴，解得b2=2，
由
，得x2-2bx-b2-1=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=2b，，
又y1y2=（x1+b）（x2+b），
∴=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2
=2（-1-b2）+2b2+b2
=b2-2=0，
∴OP⊥OQ．
2
8
（2）证明：设直线PQ的方程是y=x+b，
∵直线PQ与已知圆相切，∴
|
b
|
2
=
1
由
y = x + b |
2 x 2 - y 2 = 1 |
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=2b，
x
1
x
2
=
-
1
-
b
2
又y1y2=（x1+b）（x2+b），
∴
OP
•
OQ
=2（-1-b2）+2b2+b2
=b2-2=0，
∴OP⊥OQ．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：48引用：2难度：0.3
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-
1．点P在以F1，F2为焦点的双曲线
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
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．5
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