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已知椭圆C中心在原点O，焦点在坐标轴上，其离心率为
2
2
，一个焦点为F（0，1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆相交于A，B两点，直线OA，OB分别与直线y=2相交于M，N两点，若∠MON为锐角，求直线l斜率k的取值范围．

【考点】由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数．

【答案】（1）x²+

=1．
（2）（-∞，-1）∪（-

，0）∪（0，

）∪（1，+∞）．

【解答】

【点评】

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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：82引用：2难度：0.4

相似题

1．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）过点M（
2
2
，
3
2
），且离心率为e=
2
2
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当椭圆C和圆O：x²+y²=1．过点A（m,0）（m＞1）作直线l₁和l₂，且两直线的斜率之积等于1，l₁与圆O相切于点P，l₂与椭圆相交于不同的两点M，N．①求m的取值范围；②求△OMN面积的最大值．
发布：2024/11/12 11:30:1组卷：62引用：5难度：0.4
解析
2．已知离心率为
1
2
的椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）与直线x+2y-4=0有且只有一个公共点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点P（0，-2）的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，当坐标原点O位于以AB为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．
发布：2024/10/23 3:0:1组卷：111引用：2难度：0.4
解析
3．如图，已知椭圆G：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左、右两个焦点分别为F₁、F₂，设A（0，b），P（-a,0），Q（a,0），若△AF₁F₂为正三角形且周长为6．
（1）求椭圆G的标准方程；
（2）若过点（1，0）且斜率为k（k≠0，k∈R）的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使∠MPO=∠NPO成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若过点（1，0）的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为S₁、S₂，求
S
1
S
2
的取值范围．
发布：2024/10/9 10:0:1组卷：168引用：2难度：0.5
解析