如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-2ax-3a交x轴于A、B两点（点B在点A的右侧），交y轴于点C，OB=OC，连接BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P这第一象限抛物线上的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，设PQ的长度为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式；
（3）若点D（2，n）在抛物线上，点E为抛物线对称轴上的一点，过点E作EF⊥y轴交y轴于点F，连接AF，DE，当AF=DE时，求AF+EF+DF的值．
（4）设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，在y轴上否存在一点M，使得∠BMN最大？若存在，请直接写出点M的坐标；不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=-x²+2x+3；
（2）l=-

（m²-3m），（0＜m＜3）；
（3）

；
（4）存在，（0，

）或（0，-

）．

【解答】

【点评】

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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：206引用：1难度：0.2

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1．已知点P是二次函数y₁=-（x-m+1）²+m²-m-1图象的顶点．
（1）小明发现，对m取不同的值时，点P的位置也不同，但是这些点都在某一个函数的图象上，请协助小明完成对这个函数的表达式的探究：
①将下表填写完整：

　m -1 　0 　1 　2 　3

　P点坐标　（-2，1）　（-1，-1）

②描出表格中的五个点，猜想这些点在哪个函数的图象上？求出这个图象对应的函数表达式，并加以验证；
（2）若过点（0，2），且平行于x轴的直线与y₁=-（x-m+1）²+m²-m-1的图象有两个交点A和B，与②中得到的函数的图象有两个交点C和D，当AB=CD时，直接写出m的值等于
；
（3）若m≥2，点Q在二次函数y₁=-（x-m+1）²+m²-m-1的图象上，横坐标为m,点E在②中得到的函数的图象上，当∠EPQ=90°时，求出E点的横坐标（用含m的代数式表示）．

发布：2025/5/25 18:30:1组卷：259引用：1难度：0.3

2．已知点P（m,n）在抛物线y=ax²+2x+1上运动．
（1）当a=-1时，若点P到y轴的距离小于2，求n的取值范围；
（2）当-4≤m≤0时，n的最大值是1，求a的取值范围．
发布：2025/5/25 18:30:1组卷：205引用：2难度：0.4
解析
3．抛物线y=-
1
2
x²+bx+b+1的顶点为C，与x轴相交于点A，B，与y轴交于点D，已知点E的坐标为（1，0）．
（1）求该抛物线经过定点F的坐标．
（2）当∠CDE=90°时，求b的值．
（3）线段FC与DE能否相等？若相等，判断此时这两线段的位置关系，并证明你的结论，求出b的值．
发布：2025/5/25 19:0:2组卷：101引用：1难度：0.3
解析

m	-1	0	1	2	3
P点坐标	（-2，1）	（-1，-1）