在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为63，且过点（0，-2）．
（1）求C的方程；
（2）若动点P在直线l：x=-22上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，证明：直线l′恒过定点，并求出该定点的坐标．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
6
3
2
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）+=1．
（2）因为直线l的方程为x=-2，设P（-2，y0），y0∈（-，），
当y0≠0时，设 M（x1，y1）、N （x2，y2），显然x1≠x2，
联立
，相减可得（-）+（-）=0，即=-•
又PM=PN，即P为线段MN的中点，
故直线MN的斜率-•=，
又l′⊥MN，所以直线l′的方程为y-y0=-（x+2），
即y=-（x+），
显然l′恒过定点（-，0），
当y0=0时，l′为x轴亦过点（-，0）；
综上所述，l′恒过定点（-，0）．
x
2
12
y
2
4
（2）因为直线l的方程为x=-2
2
2
2
3
3
2
3
3
当y0≠0时，设 M（x1，y1）、N （x2，y2），显然x1≠x2，
联立
x 2 1 12 + y 2 1 4 = 1 |
x 2 2 12 + y 2 2 4 = 1 |
1
12
x
2
1
x
2
2
1
4
y
2
1
y
2
2
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
1
3
x
1
+
x
2
y
1
+
y
2
又PM=PN，即P为线段MN的中点，
故直线MN的斜率-
1
3
-
2
2
y
0
2
2
3
y
0
又l′⊥MN，所以直线l′的方程为y-y0=-
2
2
3
y
0
2
即y=-
3
y
0
2
2
4
2
3
显然l′恒过定点（-
4
2
3
当y0=0时，l′为x轴亦过点（-
4
2
3
综上所述，l′恒过定点（-
4
2
3
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：128引用：3难度：0.4
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