如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（-1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为直线x=1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线及直线BC的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．求线段PN的最大值；
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）y=-x2+2x+3，y=-x+3；
（2）PN的最大值为；
（3）点Q的坐标为（2，1）或（，3-）或（，）．
（2）PN的最大值为
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（3）点Q的坐标为（2，1）或（
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【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：586引用：3难度：0.4
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1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（1，0），且tan∠OAC=3．33
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点M为直线AC下方抛物线上一点，过点M作MD∥y轴交AC于点D，求MD+DC的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，连接BC，将△BOC绕着点A逆时针旋转60°得到△B'O'C'，将抛物线y=ax2+bx-沿着射线CB方向平移，使得平移后的新抛物线经过O'，H是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点P，使以点B'，C'，H，P为顶点的四边形是以B'C'为边的菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3
发布：2025/5/25 17:0:1组卷：435引用：1难度：0.2 -
2．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点（0，2）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）点Q在以BC为直径的圆上（点Q与点O，点B，点C均不重合），试探究QO，QB，QC的数量关系，并说明理由．
（3）E点为该图象在第一象限内的一动点，过点E作直线BC的平行线，交x轴于点F．若点E从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点F经过的路程为 ．发布：2025/5/25 17:30:1组卷：290引用：1难度：0.2 -
3．如图，已知二次函数y=-x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（-1，0），C（2，0），AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是抛物线AB之间的一个动点（不与A，B重合），求S△ABE的最大值以及此时E点的坐标；
（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得△ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果不存在，说明理由．发布：2025/5/25 18:0:1组卷：390引用：1难度：0.3
