【方法学习】数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小林在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），
①延长AD到M，使得DM=AD；
②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；
③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB-BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是 1＜AD＜71＜AD＜7；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
【初步运用】如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，若BE=6，CF=4，求线段EF的取值范围．
【深入思考】如图4，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，试判断线段AD与EF的关系，并加以证明．
【考点】三角形综合题．
【答案】1＜AD＜7
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：782引用：1难度：0.1
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1．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC外有一点D满足AD⊥BD，BD与AC相交于点E，连接CD．
（1）如图1，若AE=2，∠EBC=2∠ABE，求AB的长；
（2）如图2，点F为BD上一点，连接CF，点G为CF的中点，连接DG，若AC=2DG，猜想BF与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）问条件下，当F为BD的中点时，将△AEB沿直线AB翻折至△ABC所在平面内，得△AE′B，连接GE'、DE'，AG，请直接写出的比值．S△E′DGS△ADG
发布：2025/6/10 10:0:2组卷：300引用：2难度：0.1 -
2．如图，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，点D是线段AB上一点，把线段CD绕C点逆时针旋转90°到CE，连接AE、BE，BE交AC于点F，交CD于点G．
（1）如图1，求证：AE=BD；
（2）如图2，若CG=BG，求证：FG=DG+EF；
（3）如图3，以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，若AC=4，点D为BC的垂直平分线与AB的交点，在x轴上是否存在点M，使得△BDM为等腰三角形，若存在，请直接写出M的坐标，若不存在，请说明理由．发布：2025/6/10 10:30:1组卷：389引用：2难度：0.2 -
3．如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，在△ABC内取点D，连接AD，BD，将AD绕点A逆时针旋转至AE，∠BAC=∠DAE，连接BE，CE，∠BCE=120°，若BE=2BD=4，求BC的长；
（2）如图2，点D为BC中点，点E在CA的延长线上，连接ED交AB于点F，EF=FD，连接EB并延长至点G，连接GD，若∠BGD=60°，BF=GD，求证：GD=BG+DF；
（3）如图3，∠ABC=60°，点D在BC的延长线上，连接AD，在AD上取点E，AE=2DE，连接BE，CE，若BD=12，当CE取最小值时，直接写出△BED的面积．发布：2025/6/10 11:30:1组卷：474引用：4难度：0.2
