[问题提出]
正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的半径R和中心角有什么关系？
[问题探究]
如图①，△ABC是等边三角形，半径OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距离PF、PE、PD分别为h₁、h₂、h₃，设△ABC的边长是a,面积为S．过点O作OM⊥AB．
∴OM=Rcos

1

2

∠AOB=Rcos60°，AM=Rsin

1

2

∠AOB=Rsin60°，AB=2AM=2Rsin60°
∴S_△ABC=3S_△AOB=3×

1

2

AB×OM=3R²sin60°cos60°①
∵S_△ABC又可以表示为

1

2

a（h₁+h₂+h₃）②
联立①②得

1

2

a（h₁+h₂+h₃）=3R²sin60°cos60°
∴

1

2

×2Rsin60°（h₁+h₂+h₃）=3R²sin60°cos60°
∴h₁+h₂+h₃=3Rcos60°

[问题解决]
如图②，五边形ABCDE是正五边形，半径OA=R，∠AOB是中心角，P是△ABC内任意一点，P到△ABC各边距PH、PM、PN、PI、PL分别为h₁、h₂、h₃、h₄、h₅，参照（1）的分析过程，探究h₁+h₂+h₃+h₄+h₅的值与正五边形ABCDE的半径R及中心角的关系．
[性质应用]
（1）正六边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和h₁+h₂+h₃+h₄+h₅+h₆=

6Rcos30°

6Rcos30°

．
（2）如图③，正n边形（半径是R）内任意一点P到各边距离之和h₁+h₂+h_n-1+h_n=

nRcos

180

°

n

nRcos

180

°

n

．