已知椭圆W：x24m+y2m=1的左顶点为A（-2，0），动直线l与椭圆W交于不同的两点P，Q（不与点A重合），点A在以PQ为直径的圆上，点P关于原点O的对称点为M；
（Ⅰ）求椭圆W的方程及离心率；
（Ⅱ）求证：直线PQ过定点；
（Ⅲ）（ⅰ）求△PQM面积的最大值；
（ⅱ）若△MPQ为直角三角形，求直线l的方程．
x
2
4
m
+
y
2
m
【答案】（Ⅰ），；
（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
当PQ⊥x轴时，Q（x1，-y1），
因为点A在以PQ为直径的圆上，
所以PA⊥QA，所以，
所以，
因为，
所以，
解方程得或x1=-2，
因为l不过A（-2，0），所以x1=-2舍去，
所以，所以直线PQ的方程为．
当PQ与x轴不垂直时，
设PQ的方程为y=kx+n（k≠0），
代入椭圆方程化简得（4k2+1）x2+8knx+4n2-4=0，
因为，
所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0，
所以，
所以，
所以12k2-16kn+5n2=0，
所以（6k-5n）（2k-n）=0，
所以n=2k或，
当n=2k时，
直线l的方程为y=k（x+2）过A（-2，0），不合题意，舍去．
当时，直线l的方程为
综上，直线PQ过定点．
（Ⅲ）（i）；（ii）或．
x
2
4
+
y
2
=
1
3
2
（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
当PQ⊥x轴时，Q（x1，-y1），
因为点A在以PQ为直径的圆上，
所以PA⊥QA，所以
PA
•
QA
=
0
所以
（
-
2
-
x
1
）
2
-
y
2
1
=
0
因为
x
1
2
4
+
y
1
2
=
1
所以
5
x
1
2
+
16
x
1
+
12
=
0
解方程得
x
1
=
-
6
5
因为l不过A（-2，0），所以x1=-2舍去，
所以
x
1
=
-
6
5
x
=
-
6
5
当PQ与x轴不垂直时，
设PQ的方程为y=kx+n（k≠0），
代入椭圆方程化简得（4k2+1）x2+8knx+4n2-4=0，
因为
PA
•
QA
=
0
所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0，
所以
（
k
2
+
1
）
x
1
x
2
+
（
kn
+
2
）
（
x
1
+
x
2
）
+
n
2
+
4
=
0
所以
（
k
2
+
1
）
4
n
2
-
4
4
k
2
+
1
+
（
kn
+
2
）
-
8
kn
4
k
2
+
1
+
n
2
+
4
=
0
所以12k2-16kn+5n2=0，
所以（6k-5n）（2k-n）=0，
所以n=2k或
n
=
6
5
k
当n=2k时，
直线l的方程为y=k（x+2）过A（-2，0），不合题意，舍去．
当
n
=
6
5
k
y
=
k
（
x
+
6
5
）
综上，直线PQ过定点
（
-
6
5
，
0
）
（Ⅲ）（i）
48
25
y
=
6
4
x
+
3
6
10
，
y
=
-
6
4
x
-
3
6
10
x
=
-
6
5
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：195引用：1难度：0.3
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