如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA=1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC=3，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB=2∠ACO，求直线PA在与y轴交点的坐标；
（3）点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN为定值，并求出这个定值．
【考点】二次函数综合题．
【答案】（1）点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，-3）；
（2）直线PA在与y轴交点的坐标为（0，-）或（0，）；
（3）证明见解答，DM+DN=8．
（2）直线PA在与y轴交点的坐标为（0，-
3
4
3
4
（3）证明见解答，DM+DN=8．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：1069引用：3难度：0.3
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1．如图①、②，在平面直角坐标系中，一边长为2的等边三角板CDE恰好与坐标系中的△OAB重合，现将三角板CDE绕边AB的中点G（G点也是DE的中点），按顺时针方向旋转180°到△C′ED的位置．
（1）直接写出C′的坐标，并求经过O、A、C′三点的抛物线的解析式；
（2）点P在第四象限的抛物线上，求△C′OP的最大面积；
（3）如图③，⊙G是以AB为直径的圆，过B点作⊙G的切线与x轴相交于点F，抛物线上是否存在一点M，使得△BOF与△AOM相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．发布：2025/5/26 5:0:1组卷：166引用：2难度：0.1 -
2．已知抛物线y=a（x-b+10）（x-b）（a＞0）的顶点为Q，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线的对称轴交x轴于点D．
（1）求点A，B，C的坐标；（用含a,b的代数式表示）
（2）当BC∥AQ时，求点D的坐标；
（3）当时，点P是抛物线上点B右侧的任意一点，直线AP，BP分别交抛物线的对称轴于点M，N．求证：DN-DM是一个定值．a=12发布：2025/5/26 5:0:1组卷：244引用：1难度：0.2 -
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，当∠PBA=∠ACO时，求点P的坐标；
（3）将抛物线的对称轴沿x轴向右平移个单位得直线l,点M为直线l上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12发布：2025/5/26 5:0:1组卷：232引用：2难度：0.3
