已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点F1（-c,0），F2（c,0）与短轴的一个端点构成一个等边三角形，且直线3x+4y+6=0与圆x2+（y-c）2=a2相切．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求△AMN面积的最大值．
E
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
【答案】（1）；
（2）证明：由题意知A（-2，0），设l1：x=my-2，l1：x=-y-2，
由
消x得：（3m2+4）y2-12my=0，
解得：或y=0（舍去），
∴，∴，同理可得，
i：当m≠±1时，直线MN斜率存在，，，∴直线lMN过定点；
ii：当m=±1时，直线MN斜率不存在，直线方程为：，也过定点．
综上所述：直线lMN过定点．
（3）．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）证明：由题意知A（-2，0），设l1：x=my-2，l1：x=-
1
m
由
x = my - 2 |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
解得：
y
=
12
m
3
m
2
+
4
∴
x
=
m
•
12
m
3
m
2
+
4
-
2
=
6
m
2
-
8
3
m
2
+
4
M
（
6
m
2
-
8
3
m
2
+
4
，
12
m
3
m
2
+
4
）
N
（
6
-
8
m
2
4
m
2
+
3
，-
12
m
4
m
2
+
3
）
i：当m≠±1时，直线MN斜率存在，
k
MN
=
12
m
3
m
2
+
4
+
12
m
4
m
2
+
3
6
m
2
-
8
3
m
2
+
4
-
6
-
8
m
2
4
m
2
+
3
=
84
m
2
+
84
m
48
m
4
-
48
=
7
m
4
m
2
-
4
l
MN
：
y
=
7
m
4
m
2
-
4
（
x
+
2
7
）
（
-
2
7
，
0
）
ii：当m=±1时，直线MN斜率不存在，直线方程为：
x
=
-
2
7
（
-
2
7
，
0
）
综上所述：直线lMN过定点
（
-
2
7
，
0
）
（3）
144
49
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：137引用：2难度：0.5
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