如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE，过点D作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG=DF，联结EF、AG，已知AB=10，BC=6，AC=8．
（1）求证：AC⊥AG；
（2）设AE=x,CF=y,求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长．
【考点】三角形综合题．
【答案】见试题解答内容
【解答】
【点评】
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发布：2025/6/1 5:30:2组卷：415引用：3难度：0.3
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1．在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB'，使∠ACB'=∠ACB（点B'与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
（1）如图1，当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是 ，若BC=a,则CD的长为 ；（用含a的式子表示）
（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
发布：2025/6/12 6:30:2组卷：2453引用：19难度：0.4 -
2．如图，将两块不同的等腰直角三角板OEF和三角板OCG放置在正方形ABCD中，直角顶点O重合，点E，F，G分别在边AB，BC，AD上，AB=10，GD=BF，若较小的斜边EF长为2，则BE的长为 ，较长的斜边CG长为 ．5发布：2025/6/12 6:30:2组卷：432引用：3难度：0.1 -
3．如图①，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…将余下部分沿∠BnAnC（n为正整数）的平分线AnBn+1折叠，点与点C重合．无论折叠多少次，只要最后一次Bn与点恰好重合，我们就称∠ABC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．
情形一：如图②，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC是平分线AB1折叠，点B与点重合；
情形二：如图③，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．
【探究发现】
（1）如图③，△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？．（填：“是”或“不是”）
（2）归纳猜想：
①如图④，小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（∠B＞∠C）之间的等量关系，并说明理由．
②根据以上内容猜想：若经过n（n为正整数）次折叠∠BAC是好角，则∠B与∠C（∠B＞∠C）之间的等量关系为 ．（直接写出结论）
【应用提升】
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角，如果一个三角形的最小角是18°，请直接写出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．发布：2025/6/12 6:0:2组卷：75引用：1难度：0.2
