肝脏疾病是各种原因引起的肝脏损伤，是一种常见的危害性极大的疾病，研究表明有八成以上的肝病，是由乙肝发展而来，身体感染乙肝病毒后，病毒会在体内持续复制，肝细胞修复过程中形成纤维化，最后发展成肝病．因感染乙肝病毒后身体初期没有任何症状，因此忽视治疗，等到病情十分严重时，患者才会出现痛感，但已经错过了最佳治疗时机，对乙肝病毒应以积极预防为主，通过接种乙肝疫苗可以预防感染乙肝病毒、体检是筛查乙肝病毒携带者最好的方法，国家在《中小学生健康体检管理办法》中规定：中小学校每年组织一次在校学生健康体检，现某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验次数4000次．为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次．假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立．
（1）若m=0.4，记每人血样化验次数为X，当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数；
（2）若m=0.8，设每人血样单独化验一次费用5元，k个人混合化验一次费用k+4元．求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用．
参考数据及公式：10≈3.16，（1+x）n≈1+nx（n∈N*，n≥2，|x|≤0.01）．
10
≈
3
.
16
，
（
1
+
x
）
n
≈
1
+
nx
（
n
∈
N
*
，
n
≥
2
，
|
x
|
≤
0
.
01
）
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）．
【答案】（1）k=16，506次；
（2）k=10，7200元．
（2）k=10，7200元．
【解答】
【点评】
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发布：2024/6/27 10:35:59组卷：152引用：2难度：0.6
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