已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点连线相互垂直．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．
【答案】（Ⅰ）．
（II）①当直线l的斜率不存在时，由
解得．
设，，则为定值．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-1）．
将y=k（x-1）代入整理化简，得（3k2+1）x2-6k2x+3k2-3=0．
依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，．
又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
所以=
==
==．
综上得k1+k2为常数2．
x
2
3
+
y
2
=
1
（II）①当直线l的斜率不存在时，由
x = 1 |
x 2 3 + y 2 = 1 |
x
=
1
，
y
=±
6
3
设
A
（
1
，
6
3
）
B
（
1
，-
6
3
）
k
1
+
k
2
=
2
-
6
3
2
+
2
+
6
3
2
=
2
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-1）．
将y=k（x-1）代入
x
2
3
+
y
2
=
1
依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
x
1
+
x
2
=
6
k
2
3
k
2
+
1
x
1
x
2
=
3
k
2
-
3
3
k
2
+
1
又y1=k（x1-1），y2=k（x2-1），
所以
k
1
+
k
2
=
2
-
y
1
3
-
x
1
+
2
-
y
2
3
-
x
2
（
2
-
y
1
）
（
3
-
x
2
）
+
（
2
-
y
2
）
（
3
-
x
1
）
（
3
-
x
1
）
（
3
-
x
2
）
=
[
2
-
k
（
x
1
-
1
）
]
（
3
-
x
2
）
+
[
2
-
k
（
x
2
-
1
）
]
（
3
-
x
1
）
9
-
3
（
x
1
+
x
2
）
+
x
1
x
2
12
-
2
（
x
1
+
x
2
）
+
k
[
2
x
1
x
2
-
4
（
x
1
+
x
2
）
+
6
]
9
-
3
（
x
1
+
x
2
）
+
x
1
x
2
=
12
-
2
（
x
1
+
x
2
）
+
k
[
2
×
3
k
2
-
3
3
k
2
+
1
-
4
×
6
k
2
3
k
2
+
1
+
6
]
9
-
3
×
6
k
2
3
k
2
+
1
+
3
k
2
-
3
3
k
2
+
1
12
（
2
k
2
+
1
）
6
（
2
k
2
+
1
）
=
2
综上得k1+k2为常数2．
【解答】
【点评】
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