在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，直线y=x被椭圆C截得的线段长为4105．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；
（ii）求△OMN面积的最大值．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
2
4
10
5
【考点】直线与圆锥曲线的综合．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），
则B（-x1，-y1）．
∵直线AB的斜率，
又AB⊥AD，
∴直线AD的斜率．
设AD方程为y=kx+m，
由题意知k≠0，m≠0．
联立
，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0．
∴．
因此．
由题意可得．
∴直线BD的方程为．
令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）．
可得．
∴，即．
因此存在常数使得结论成立．
（ii）．
x
2
4
+
y
2
=
1
（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），
则B（-x1，-y1）．
∵直线AB的斜率
k
AB
=
y
1
x
1
又AB⊥AD，
∴直线AD的斜率
k
AD
=
-
x
1
y
1
设AD方程为y=kx+m，
由题意知k≠0，m≠0．
联立
y = kx + m |
x 2 4 + y 2 = 1 |
∴
x
1
+
x
2
=
-
8
mk
1
+
4
k
2
因此
y
1
+
y
2
=
k
（
x
1
+
x
2
）
+
2
m
=
2
m
1
+
4
k
2
由题意可得
k
1
=
y
1
+
y
2
x
1
+
x
2
=
-
1
4
k
=
y
1
4
x
1
∴直线BD的方程为
y
+
y
1
=
y
1
4
x
1
（
x
+
x
1
）
令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）．
可得
k
2
=
-
y
1
2
x
1
∴
k
1
=
-
1
2
k
2
λ
=
-
1
2
因此存在常数
λ
=
-
1
2
（ii）
9
8
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：2257引用：21难度：0.1
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-
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O为坐标原点．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1，P2两点，且，OP1•OP2=-274，求双曲线E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若过点Q（m,0）（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且（λ为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使MQ=λQN？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．F1F2⊥（GM-λGN）发布：2024/12/29 10:0:1组卷：72引用：5难度：0.7 -
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．5
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