已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（-1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆上．
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P2A与P2B直线的斜率的和为-1，证明：l过定点．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
P
1
（
1
，
1
）
，
P
2
（
0
，
1
）
，
P
3
（
-
1
，
3
2
）
，
P
4
（
1
，
3
2
）
【考点】直线与椭圆的综合．
【答案】（1）；
（2））①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，-yA），
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，=-1
解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y=kx+m，（m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，整理，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
，…①
∵直线P2A与P2B直线的斜率的和为-1，
∴+=+===-1…②
①代入②得：=-1，
又m≠1，∴m=-2k-1，此时Δ=-64k，存在k，使得Δ＞0成立，
∴直线l的方程为y=kx-2k-1，
当x=2时，y=-1，
∴l过定点（2，-1）．
x
2
4
+
y
2
=
1
（2））①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，-yA），
∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，
k
P
2
A
+
k
P
2
B
=
y
A
-
1
m
+
-
y
A
-
1
m
解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设l：y=kx+m，（m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
y = kx + m |
x 2 + 4 y 2 = 4 |
x
1
+
x
2
=
-
8
km
1
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
m
2
-
4
1
+
4
k
2
∵直线P2A与P2B直线的斜率的和为-1，
∴
k
P
2
A
k
P
2
B
y
2
-
1
x
2
y
1
-
1
x
1
x
1
（
k
x
2
+
m
-
1
）
+
x
2
（
k
x
1
+
m
-
1
）
x
1
x
2
2
k
x
1
x
2
+
（
m
-
1
）
（
x
1
+
x
2
）
x
1
x
2
①代入②得：
2
k
（
m
-
1
）
（
m
-
1
）
（
m
+
1
）
又m≠1，∴m=-2k-1，此时Δ=-64k，存在k，使得Δ＞0成立，
∴直线l的方程为y=kx-2k-1，
当x=2时，y=-1，
∴l过定点（2，-1）．
【解答】
【点评】
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发布：2024/4/20 14:35:0组卷：4855引用：25难度：0.3
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